Notaţii

(φ, λ, h) - coordonate geografice unde:
• φ - latitudinea;
• λ - longitudinea;
• h - altitudine faţă de elipsoid.

(X, Y, Z) - coordonate carteziene geocentrice cu axa X întotdeauna orientată pe meridianul zero Greenwich.

(N, E, H) - coordonate carteziene în planul de proiecţie unde:
• N - coordonata pe direcţia nord (y);
• E - coordonata pe direcţia est (x);
• H - cotă ortometrică (altitudine faţă de geoid).

Parametrii geometrici ai elipsoidului de rotaţie

a - semiaxa mare

f - turtirea

b - semiaxa mică, b = a(1 - f)

N_e - marea normală, N_e = a / [1 - e ² sin ² (φ)] ^½

e - prima excentricitate, e = [(a ² - b ²) / a ²] ^½

e'- a doua excentricitate, e'= [(a ² - b ²) / b ²] ^½

Transformarea coordonatelor geografice (φ, λ, h) în coordinate carteziene geocentrice (X, Y, Z)

X = (N_e + h) cos(φ) cos(λ)

Y = (N_e + h) cos(φ) sin(λ)

Z = [N_e (1 - e ²) + h) sin(φ)

Transformarea coordonatelor carteziene geocentrice (X, Y, Z) în coordonate geografice (φ, λ, h)

Valoarea lui φ calculată iterativ:

d = (X ² + Y ²) ^½

φ_ini = arctan[Z(1 + e' ²) / d]

φ_i+1 = arctan{[Z + N_e e ² sin(φ_i)] / d} (iterativ)

λ = arctan(Y / X)

h = d / cos(φ) - N_e

Transformări 1D

1. Rotaţie plan 3D (5 parametri)

XS YS ZD    =  R(α1, α2, 0.0)  ×    XS YS ZS    +    TX TY TZ

unde:
• (X_S , Y_S , Z_S) - coordonate în sistemul de proiecţie punct sursă;
• (Z_D) - coordonata pe cotă punct destinaţie;
• (T_X , T_Y , T_Z) - translaţii;
• R(α1, α2, 0.0) - matricea de rotaţie, α1, α2 rotaţii în jurul axelor X, Y iar α3 = 0.0;

Notă: Pentru determinarea parametrilor din punctele comune s-a aplicat iterativ metoda pătratelor minime.

2. Translaţie pe cotă (1 parametru)

T_Z = [ ∑_i=1..n (Z_D - Z_S)] / n

unde:
• (Z_S) - coordonata pe cotă punct sursă;
• (Z_D) - coordonata pe cotă punct destinaţie;
• (T_Z) - translaţia pe cotă;

Notă: În cazul căutării celei mai bune combinaţii se calculează abaterea standard ca abatere de la medie.

Transformări 2D

1. Transformare conformă 2D Helmert (4 parametri)

XD YD    =   m   ×    cos(R) -sin(R) sin(R) cos(R)    ×    XS YS    +    TX TY

unde:
• (X_S, Y_S) - coordonate punct sursă;
• (X_D, Y_D) - coordonate punct destinaţie;
• (T_X, T_Y) - translaţii;
• R - rotaţia;
• m - factor de scară, m = 1 + S / 10⁶ (S - factor de scară în ppm).

Notă: Pentru determinarea parametrilor din punctele comune s-a aplicat metoda pătratelor minime.

2. Transformare conformă 2D Helmert cu origine de rotaţie (6 parametri)

XD YD    =   m   ×    cos(R) -sin(R) sin(R) cos(R)    ×    XS - XO YS - YO    +    TX + XO TY + YO

unde:
• (X_S, Y_S) - coordonate punct sursă;
• (X_D, Y_D) - coordonate punct destinaţie;
• (T_X, T_Y) - translaţii;
• (X_O, Y_O) - coordonate punct origine de rotaţie X_O = ∑ X_S(i) / n, Y_O = ∑ Y_S(i) / n;
• R - rotaţia;
• m - factor de scară, m = 1 + S / 10⁶ (S - factor de scară în ppm).

Notă: Pentru determinarea parametrilor din punctele comune s-a aplicat metoda pătratelor minime.

3. Transformare afină 2D ortogonală (5 parametri)

XD YD    =    mX 0 0 mY    ×    cos(R) -sin(R) sin(R) cos(R)    ×    XS YS    +    TX TY

unde:
• (X_S, Y_S) - coordonate punct sursă;
• (X_D, Y_D) - coordonate punct destinaţie;
• (T_X, T_Y) - translaţii;
• R - rotaţia;
• (m_X, m_Y) - factori de scară pe X, Y.

Notă: Pentru determinarea parametrilor din punctele comune s-a aplicat iterativ metoda pătratelor minime.

4. Transformare afină 2D neortogonală (6 parametri)

XD YD    =    1 ε 0 1    ×    mX 0 0 mY    ×    cos(R) -sin(R) sin(R) cos(R)    ×    XS YS    +    TX TY

unde:
• (X_S, Y_S) - coordonate punct sursă;
• (X_D, Y_D) - coordonate punct destinaţie;
• (T_X, T_Y) - translaţii;
• ε - coeficient de neortogonalitate;
• R - rotaţia;
• (m_X, m_Y) - factori de scară pe X, Y.

Notă: Pentru determinarea parametrilor din punctele comune s-a aplicat metoda pătratelor minime.

Transformări 3D

1. Transformare conformă 3D Helmert metoda Bursa-Wolf (7 sau 15 parametri)

Această metodă este cea mai utilizată în aplicaţiile geodezice. Această metodă a fost adoptată în geodezie deoarece unghiurile de rotaţie dintre elipsoizi sunt foarte mici. În general producătorii de echipamente GPS folosesc această metodă pentru a transforma coordonatele de pe un elipsoid pe altul.

Datorită aproximărilor făcute de această metodă unghiurile de rotaţie sunt acceptate doar pentru valori cuprinse între -10'' şi +10''. Dacă utilizaţi transformarea între două sisteme de coordonate care necesită rotaţii mai mari de ±10'' atunci vă recomandăm să utilizaţi metoda de transformare 3D Helmert cu 7 parametri.

Aproximările făcute pentru această metodă:

sin(dΘ) ≈ dΘ

cos(dΘ) ≈ 1.0

valabilă pentru unghiuri de rotaţie mai mici de ±10''.

XD YD ZD    =  m  ×    1 -RZ +RY +RZ 1 -RX -RY +RX 1    ×    XS YS ZS    +    TX TY TZ

unde:
• (X_D, Y_D, Z_D) - coordonate punct destinaţie;
• (X_S, Y_S, Z_S) - coordonate punct sursă;
• (T_X, T_Y, T_Z) - translaţii;
• (R_X, R_Y, R_Z) - rotaţii;
• m - factor de scara, m = 1 + S / 10⁶ (S - factor de scara în ppm).

 

În cazul transformării dependente de timp cu 15 parametri valorile translaţiilor, rotaţiilor şi factorul de scară sunt ajustate in prealabil cu valoarea timpului.

   T_X = T_X + δT_X (t - t₀)

   T_Y = T_Y + δT_Y (t - t₀)

   T_Z = T_Z + δT_Z (t - t₀)

   R_X = R_X + δR_X (t - t₀)

   R_Y = R_Y + δR_Y (t - t₀)

   R_Z = R_Z + δR_Z (t - t₀)

   S = S + δS (t - t₀), m = 1 + S / 10⁶ (S - factor de scara în ppm).

unde:
• t₀ - epoca de referinţă a transformării;
• t - epoca coordonatelor dinamice.

Notă: Pentru determinarea parametrilor din punctele comune s-a aplicat metoda pătratelor minime.

2. Transformare conformă 3D Helmert metoda Molodenski-Badekas (10 parametri)

Această transformare este similară cu metoda Bursa-Wolf cu diferenţa că originea de rotaţie este mutată în apropierea punctelor de transformare. Datorită reducerii distanţei dintre originea de rotaţie şi punctele de transformat prin această metodă se obţin precizii ale necunoscutelor T_X, T_Y, T_Z (translaţii) mult mai bune. Precizia totală a transformării este mai bună decât cea obţinută cu metoda Bursa-Wolf însă din punct de vedere practic nu există diferenţe între punctele transformate cu cele două metode.

Aproximările făcute pentru această metodă:

sin(dΘ) ≈ dΘ

cos(dΘ)≈ 1.0

valabilă pentru unghiuri de rotaţie mai mici de ±10''.

XD YD ZD    =  m  ×    1 -RZ +RY +RZ 1 -RX -RY +RX 1    ×    XS - XO YS - YO ZS - ZO    +    TX + XO TY + YO TZ + ZO

unde:
• (X_S, Y_S, Z_S) - coordonate punct sursă;
• (X_D, Y_D, Z_D) - coordonate punct destinaţie;
• (X_O, Y_O, Z_O) - coordonate punct origine de rotaţie X_O = ∑ X_S(i) / n, Y_O = ∑ Y_S(i) / n, Z_O = ∑ Z_S(i) / n;
• (T_X, T_Y, T_Z) - translaţii;
• (R_X, R_Y, R_Z) - rotaţii;
• m - factor de scara, m = 1 + S / 10⁶ (S - factor de scara în ppm).

Pentru X_O = 0.0; Y_O = 0.0; Z_O = 0.0 transformarea devine o transformare cu 7 parametri Bursa-Wolf.

Această transformare nu suportă transformarea inversă.

Notă: Pentru determinarea parametrilor din punctele comune s-a aplicat metoda pătratelor minime.

3. Transformarea afină 3D cu 7, 8, 9 sau 15 parametri

XD YD ZD    =  M(mX,mY,mZ)  ×  R(α1,α2,α3)  ×    XS YS ZS    +    TX TY TZ

unde:
• (X_S, Y_S, Z_S) - coordonate punct sursă;
• (X_D, Y_D, Z_D) - coordonate punct destinaţie;
• (T_X, T_Y, T_Z) - translaţii;
• R(α1, α2, α3) - matricea de rotaţie, α1, α2, α3 rotaţii în jurul axelor X, Y, Z;
• M(m_X, m_Y, m_Z) - matricea diagonală a factorilor de scară.

Pentru transformarea cu 7 parametri m_X = m_Y = m_Z, iar pentru transformarea cu 8 parametri m_X = m_Y.

Această transformare nu este limitată la unghiuri de rotaţie de ±10'' aşa cum sunt limitate metodele Bursa-Wolf şi Molodenski-Badekas.

În cazul transformării dependente de timp cu 15 parametri valorile translaţiilor, rotaţiilor şi factorul de scară sunt ajustate in prealabil cu valoarea timpului.

   T_X = T_X + δT_X (t - t₀)

   T_Y = T_Y + δT_Y (t - t₀)

   T_Z = T_Z + δT_Z (t - t₀)

   R_X = R_X + δR_X (t - t₀)

   R_Y = R_Y + δR_Y (t - t₀)

   R_Z = R_Z + δR_Z (t - t₀)

   S = S + δS (t - t₀), m_X = m_Y = m_Z = 1 + S / 10⁶ (S - factor de scara în ppm).

unde:
• t₀ - epoca de referinţă a transformării;
• t - epoca coordonatelor dinamice.

Notă: Pentru determinarea parametrilor din punctele comune s-a aplicat iterativ metoda pătratelor minime.

4. Transformarea afină 3D cu origine de rotaţie (12 parametri)

XD YD ZD    =  M(mX,mY,mZ)  ×  R(α1,α2,α3)  ×    XS - XO YS - YO ZS - ZO    +    TX + XO TY + YO TZ + ZO

unde:
• (X_S, Y_S, Z_S) - coordonate punct sursă;
• (X_D, Y_D, Z_D) - coordonate punct destinaţie;
• (X_O, Y_O, Z_O) - coordonate punct origine de rotaţie X_O = ∑ X_S(i) / n, Y_O = ∑ Y_S(i) / n, Z_O = ∑ Z_S(i) / n;
• (T_X, T_Y, T_Z) - translaţii;
• R(α1, α2, α3) - matricea de rotaţie, α1, α2, α3 rotaţii în jurul axelor X, Y, Z;
• M(m_X, m_Y, m_Z) - matricea diagonală a factorilor de scară.

Notă: Pentru determinarea parametrilor din punctele comune s-a aplicat iterativ metoda pătratelor minime.

Calculul coeficienţilor de transformare A0, A1, A2, B0, B1, B2 pentru transformarea 2D afină cu 6 parametri

A0 = T_X

B0 = T_Y

B1 = m_Y * sin(R)

B2 = m_Y * cos(R)

A1 = m_X*cos(R) + ε * B1

A2 = -m_X*sin(R) + ε * B2

unde:
• (T_X, T_Y) - translaţii;
• ε - coeficient de neortogonalitate;
• R - rotaţia;
• (m_X, m_Y) - factori de scară.

Direcţii de rotaţie

1. Pentru transformări 2D

2. Pentru transformări 3D

Notă: Dacă utilizaţi parametri determinaţi cu alte programe verificaţi dacă unghiurile de rotaţie corespund acestor direcţii de rotaţie, în caz contrar schimbaţi semnul unghiurilor de rotaţie.

Proiecţii

Formulele cu proiecţiile utilizate în TransLT nu sunt prezentate în acest document datorită volumului mare de informaţii. Cei interesaţi le pot găsi în Map Projections - A Working Manual autor John P. Snyder publicată în anul 1987 de United States Government Printing Office şi în Guidance Note Number 7, part 2 - Coordinate Conversions and Transformations including Formulas revizuită în iulie 2012, publicată de O.G.P.

Formulele au fost verificate conform testelor prezentate în cele două cărţi.

Caz particular pentru proiecţia Oblique Stereographic - calcul cu coeficienţi constanţi

Conversia directă (φ, λ) în (N, E)

f  = 10 ^-4 (φ - φ₀)''

g = 10 ^-4 (λ - λ₀)''

F  =    f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6    ;  Ga  =    g0 g2 g4 g6    ;  Gb  =    g1 g3 g5 g7

ΔN = ∑_j=0..3 {∑_i=0..6 [F(i) × a(i, j)] × G_a(j)}

ΔE = ∑_j=0..3 {∑_i=0..6[F(i) × b(i, j)] × G_b(j)}

N = F_N + ΔN × k

E = F_E + ΔE × k

Conversia inversă (N, E) în (φ, λ)

f  = 10^-5(N - F_N) / k

g = 10^-5(E - F_E) / k

F  =    f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6    ;  Ga  =    g0 g2 g4 g6    ;  Gb  =    g1 g3 g5 g7

Δφ'' = Σ_j=0..3 {Σ_i=0..6 [F(i) × a(i, j)] × G_a(j)}

Δλ'' = Σ_j=0..3 {Σ_i=0..6 [F(i) × b(i, j)] × G_b(j)}

φ = φ₀ + Δφ''/3600

λ = λ₀ + Δλ''/3600

unde:
• (φ₀, λ₀) - coordonatele geografice ale polului de proiecţie
• k - factor de scară utilizat pentru trecerea din planul tangent în planul secant
• F_N - translaţie pe nord (nord fals)
• F_E - translaţie pe est (est fals)
• a(i, j) - matricea coeficienţilor constanţi
• b(i, j) - matricea coeficienţilor constanţi

Transformări polinomiale

Formulele pentru toate tipurile de transformări polinomiale utilizate în TransLT le găsiţi în Guidance Note Number 7, part 2 - Coordinate Conversions and Transformations including Formulas revizuită în iulie 2012, publicată de O.G.P.

Formulele au fost verificate conform testelor prezentate în acest document.

Translatări coordonate

Formulele pentru toate metodele de translatare a coordonatelor utilizate în TransLT le găsiţi în Guidance Note Number 7, part 2 - Coordinate Conversions and Transformations including Formulas revizuită în iulie 2012, publicată de O.G.P.

Formulele au fost verificate conform testelor prezentate în acest document.